ABC041 D - 徒競走

問題

N匹のうさぎ(1..N)が徒競走をした。

M人の観客から、x_iはy_iより先にゴールしたという情報がわかっている。

同着はいないとするとき、着順は何通り考えられるか？

制約

2 <= N <= 16

1 <= M <= N(N - 1) / 2

解法

着順は最大で N! 通りある。いくら制約が小さいとはいえ、16!では計算できない。ところが 2¹⁶ ならなんとかなりそうなので、bit全列挙・bitDPができそうである(この問題では後者)。

この問題は、順序の制約を満たすトポロジカルソートの結果の数を求める問題である。そこで dp[S] = (頂点集合Sをソートした結果の数) というDPを考える。S から S + {v} (v: Sに含まれない頂点) への遷移を考えると、dp[S + {v}] に dp[S] が足されていく。これは S をソートしたその末尾に v を並べるというイメージ。

S = φ のとき、ソートの仕方は1通りなので dp[φ] = 1 とする。これでループを回していけば dp[U] (U: 全体集合) が答えとなる。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long   // <-----!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

#define rep(i,n) for (int i=0;i<(n);i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);i++)
#define rrep(i,n) for (int i=(n)-1;i>=0;i--)
#define rrep2(i,a,b) for (int i=(b)-1;i>=(a);i--)
#define all(a) (a).begin(),(a).end()

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> Pii;
typedef tuple<int, int, int> TUPLE;
typedef vector<int> V;
typedef vector<V> VV;
typedef vector<VV> VVV;
typedef vector<vector<int>> Graph;
const int inf = 1e9;
const int mod = 1e9 + 7;

signed main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);

    int N, M;   // N, i: 頂点 / M, j: 制約(x->y)
    cin >> N >> M;
    V x(M), y(M);
    rep(j, M) {
        cin >> x[j] >> y[j];
        x[j]--, y[j]--;
    }

    vector<bool> valid(1 << N, true);
    rep(s, 1 << N) {
        rep(j, M) {
            // x[j]より先にy[j]に訪れてしまうような状態は除く
            if (!((s >> x[j]) & 1) & ((s >> y[j]) & 1)) {
                valid[s] = false;
            }
        }
    }

    V dp(1 << N);
    dp[0] = 1;
    rep(s, 1 << N) {
        rep(i, N) {
            if (!((s >> i) & 1) && valid[s | (1 << i)]) {
                dp[s | (1 << i)] += dp[s];
            }
        }
    }

    cout << dp.back() << endl;

}

ABCのDをさっと解けるようになりたい。