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ゆらのふなびと

競プロ, Python, C++

yukicoder No.399 動的な領主

"木上のimos法"というテク。

問題

No.399 動的な領主 - yukicoder

N頂点の無向木がある。Q人の人が u_i から v_i へ最短経路で移動する。人が頂点を通過するとき、(自分より前にその頂点を通った人の人数) + 1 のコストがかかる。Q人の移動コストの総和を求めよ。ただし「通過」とは両端の頂点も含むものとする。

制約

N, Q <= 105

解法

愚直解として、クエリごとに毎回DFSでシミュレーションする方法が考えられます。これだと計算量は  O(NQ), 計算回数は最大  10^{10} 回程度となり間に合いません。

各クエリを処理するとき、「それまでのクエリにより各頂点が何回通過されたか」を保持しておかなければいけないとすると1回の更新に O(N) かかり、結局  O(NQ) かかってしまいそうです。そこで「クエリを1つずつ処理するときには情報の一部だけ記憶しておいて、最後にまとめて計算できないか?」ということを考えます。この問題で求めたいのは移動コストの総和ですが、これは人が移動する順番に依存しません。各頂点  i について、 i が通られた回数を  k_i とします。すると頂点  i についてのコストの総和は  1 + 2 + ... + k_i = k_i (k_i + 1) / 2 \cdots (1) により  O(1) で求まります。つまり、各頂点が各クエリのパスに被覆された回数が現実的な時間でわかればよいということになります。

「被覆された回数」と言うとimos法が思い浮かびます。木に対してimos法を適用できないでしょうか? できます。 u から  v へのパスによる被覆は、以下のように表現できます。ただし  cnt は 長さ N の配列で、 cnt[i] に後に頂点  i の被覆数が入るものとします。

 cnt[u]++;

 cnt[v]++;

 cnt[lca(u, v)]--;

 cnt[par(lca(u, v)]--;

図を描いてみるとわかりやすいです。これを各クエリに対して行い、最終的に根の方向に向けて累積和をとります。すると  u v からそれぞれ根に向かって +1 が走っていきます。 lca(u, v) には  u v の両方から +1 が来るので、重複を除くために -1 します。 par(lca(u, v)) 以降は  u から  v へのパスには被覆されないので、+1 を打ち消すために -1 します。こうして各頂点の被覆数を求めて(1)を足し上げると答えが求まります。計算量は O(Q + N) です。 LCAの構築が  O(NlogN), クエリごとにLCAを求めるのが  O(QlogN) なので、全体で  O((N + Q)logN) となります(修正 2016/07/20/12:10)

なお、この方法は  u = v,  u = lca(u, v),  v = lca(u, v) などの場合にも使えるようです。(いくつか例を試しただけ)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long   // <-----!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

#define rep(i,n) for (int i=0;i<(n);i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);i++)
#define rrep(i,n) for (int i=(n)-1;i>=0;i--)
#define rrep2(i,a,b) for (int i=(b)-1;i>=(a);i--)
#define all(a) (a).begin(),(a).end()

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> Pii;
typedef tuple<int, int, int> TUPLE;
typedef vector<int> V;
typedef vector<V> VV;
typedef vector<VV> VVV;
typedef vector<vector<int>> Graph;
const int inf = 1e9;
const int mod = 1e9 + 7;

class LCA {
private:
    static const int MAX_LOG = 20;
    const int n;
    Graph G;
    V depth;
    VV par;
    V cnt; // 各頂点を通った回数
public:
    LCA(int _n) : n(_n), G(_n), par(MAX_LOG, V(_n)), depth(_n), cnt(_n) {}
    // undirected
    void addEdge(int a, int b) {
        G[a].emplace_back(b);
        G[b].emplace_back(a);
    }
    // 各頂点の深さと、1つ前の親を求める
    void dfs(int v, int p, int d) {
        par[0][v] = p;
        depth[v] = d;
        for (auto nxt : G[v]) {
            if (nxt != p) dfs(nxt, v, d + 1);
        }
    }
    // 各頂点の2^k番目の親を求めておく
    void setPar() {
        // 0を根として1つ目の親を求める
        dfs(0, -1, 0);

        // 2^i番目の親を求める
        rep(i, MAX_LOG - 1) {
            rep(j, n) {
                if (par[i][j] == -1) {
                    par[i + 1][j] = -1;
                } else {
                    par[i + 1][j] = par[i][par[i][j]];
                }
            }
        }
    }
    int lca(int a, int b) {
        // まずaとbの深さを揃える
        if (depth[a] > depth[b]) {
            swap(a, b);
        }
        rep(i, MAX_LOG) {
            if ((depth[b] - depth[a]) >> i & 1) {
                b = par[i][b];
            }
        }
        if (a == b) return a;

        // ぶつかる直前までa, bを上げる
        rrep(i, MAX_LOG) {
            if (par[i][a] != par[i][b]) {
                a = par[i][a];
                b = par[i][b];
            }
        }
        // aとbの1つ前の親は一致している
        return par[0][a];
    }

    void updateCnt(int u, int v) {
        cnt[u]++;
        cnt[v]++;
        int w = lca(u, v);
        cnt[w]--;
        if (par[0][w] != -1) cnt[par[0][w]]--;
    }
    int imosFinal(int v, int p) {
        int t = 0;
        for (auto&& nxt : G[v]) {
            if (nxt != p) t += imosFinal(nxt, v);
        }
        cnt[v] += t;
        return cnt[v];
    }
    int answer() {
        imosFinal(0, -1);
        int ans = 0;
        for (auto&& x : cnt) {
            ans += (x + 1) * x / 2;
        }
        return ans;
    }
};

signed main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);

    int N;
    cin >> N;
    LCA lca(N);
    rep(i, N - 1) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        u--, v--;
        lca.addEdge(u, v);
    }

    lca.setPar();

    int Q;
    cin >> Q;
    rep(i, Q) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        u--, v--;
        lca.updateCnt(u, v);
    }

    cout << lca.answer() << endl;
}

imos法は偉大。