ゆらのふなびと

競プロ, Python, C++

yukicoder No.390 最長の数列

問題

N個の正の整数からなる集合 S = {x_1, x_2, ..., x_N} がある。

SからM個の要素を選んで適切に並び替えた数列を (a_1, a_2, ..., a_M) とするとき、aが単調増加かつ隣り合うすべての要素に対してa_iがa_i+1の約数となるような数列を「良い」数列と呼ぶ。

最も長い良い数列の長さは?

制約

1 <= N <= 105

1 <= x_i <= 106

x_i はどれも異なる

解法

Sから要素を取り出してa_1, a_2, ...に割り当てる順番は自由なので、Sを昇順にソートしておく。

まずはTLE解を考える。dp[i] = (x_iまでの要素から取り出せる良い数列の最大の長さ) とすると、dp[i + 1] = max{dp[j] + 1 | j < i, x_j は x_i の約数} となる。計算量はO(n2)。各iについてiより小さいすべてのjを見ているから時間がかかるのである。ではここからどう計算量を落とすか?

制約にx_i <= 106とあるので、試しにiではなくx_iを添え字にしてみる。すなわち、dp[i] = (末尾の数がiであるような良い数列の最大の長さ) とすると、Sの要素を昇順に見て dp[x_i] = max{dp[y] + 1 | y は x_i の約数} を更新していけばよい。DPの遷移は高々 N * D 回 (D: x_iの約数の個数の最大値) となる。DはNよりは小さいだろうという推測が立つので、本番はこの時点でコードを書き始めた。実際実験してみると1 <= x_i <= 106ではD = 240 なので*1、十分間に合うことがわかる。実際の計算量は、以下のコードでは約数の列挙に O(sqrt(x_i)) かけているので O(Σsqrt(x_i))。

約数の個数が意外と小さいというのは LCM Rushの解説 で知っていた。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long   // <-----!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

#define rep(i,n) for (int i=0;i<(n);i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);i++)
#define rrep(i,n) for (int i=(n)-1;i>=0;i--)
#define rrep2(i,a,b) for (int i=(b)-1;i>=(a);i--)
#define all(a) (a).begin(),(a).end()

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> Pii;
typedef tuple<int, int, int> TUPLE;
typedef vector<int> V;
typedef vector<V> VV;
typedef vector<VV> VVV;
typedef vector<vector<int>> Graph;
const int inf = 1e9;
const int mod = 1e9 + 7;

// 自身以外の約数を列挙(12 -> {1, 2, 3, 6}, 8 -> {1, 2, 4})
vector<int> divisor(int n) {
    // !! n = 1のときは自身を除くので {} !!
    if (n == 1) return {};
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            res.emplace_back(i);
            if (i != 1 && i != n / i) res.emplace_back(n / i);
        }
    }
    return res;
}


signed main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);

    int N;
    cin >> N;
    V a(N);
    rep(i, N) cin >> a[i];
    sort(all(a));

    const int MAX = 1e6 + 1;
    V dp(MAX);
    for (auto x : a) {
        dp[x] = 1;
        auto v = divisor(x);
        for (auto y : v) {
            dp[x] = max(dp[x], dp[y] + 1);
        }
    }

    cout << *max_element(all(dp)) << endl;

}

ぴろずさんの問題は難しい。(しかし学びがある)

*1:x = 720720, 831600, 942480, 982800, 997920 のとき